「ルーター」とは、異なるネットワークを相互に接続するネットワーク機器のことで、これが無いとインターネットに接続できません。「wifi」とは、無線でネットワークに接続する技術のことです。
一度は目にしたり、聞いたりしたことがある「ポケットWiFi （Pocket WiFi）」や「モバイルwifiルーター」とは簡単に言うと、小型で持ち運んでネットができる通信端末や小型通信端末を使ったモバイルwifiサービスのことを指します。
「ポケットWiFi （Pocket WiFi）」は正確にいうとY!mobile（ワイモバイル）の商標（商品名）だけど、今では別の企業が扱うモバイルwifiルーターもまとめて「ポケットWiFi」と呼んでいたりもします。そのほかにも「モバイルルーター」「モバイルwifi」などと呼ばれている場合もあって、統一していないのがややこしいところです。ちなみに、私は「ポケットwifi」と呼ぶことが多いです。